イントロダクション

巨大モデルの訓練では、わずかな数値の揺らぎが学習の明暗を分けます。まるで綱渡りのように、重みや活性化、勾配が適切な“幅”を保てるかが重要です。Stiefel（直交行列に制約を課す多様体）とMuon（更新量を整える正規化的枠組み）を組み合わせた新しい設計は、この綱を太くし、安定して前へ進める道を示してくれます。以下ではその考え方と実践上のポイントをやさしく整理します。

全体像：なぜ“正しい大きさ”が必要か

大規模ネットワークでは、テンソル（重み・活性化・勾配）が大きく振れると数値オーバーフローやアンダーフローを起こします。逆に小さすぎると更新が埋もれて学習が遅くなります。層正規化は活性化の振れを抑え、スペクトル正規化は重みの特異値を制御します。Muonはこうした正規化を更新面の視点で捉え、更新の大きさと安定性を同時に整える枠組みとして注目されています。複数の成分が絡み合う大規模モデルでは、テンソルの“サイズ感”を把握できる正規化が実用的な利点を生みます。

モジュール化多様体の基本アイデア

ここでいうモジュールは三つの要素を持ちます。前向き関数 f、サブマニフォールド M、そしてノルムです。例として Stiefel 多様体上に置かれた線形モジュール StiefelLinear を想像してください。Stiefel は直交行列を意味し、ここに制約すると重みの特異値が安定しやすくなります。

ノルムは各モジュールの感度を測るもので、提案では各モジュールのノルムの最大値を取り、スカラー係数で調整する「モジュラー Norm」を用います。これは層ごとのリプシッツ感度を直感的に捉え、層間の学習率配分を設計しやすくします。複数モジュールはカルテジアン積的に結合でき、拡張性も確保されます。

Manifold Muon の最適化の流れと効果

Manifold Muon では、重み行列を Stiefel 多様体上に制約しつつ、スペクトルノルムの上限 η を課した最適化問題を解きます。勾配情報を元に最適な更新を求め、双対昇法（Lagrange 乗数法に近い手法）で制約を満たす更新を見つけます。更新は勾配と現在の重みを組み合わせた式から求まり、得られた更新を適用した後に再射影して多様体上に戻します。

実験面では、小規模な CIFAR-10 の試験で Manifold Muon が AdamW より高い訓練精度とテスト精度を示したとの報告があります。興味深い点は、最良の学習率設定では初期の重みの特異値がすべて 1 付近に揃う傾向が見られたことです。一方で、安定化のための反復や双対最適化は計算コストを増やすため、効率化の工夫が求められます。

モジュール間の学習率配分：実務での工夫と落とし穴

実運用では、層ごとの影響度を測って学習率を配分する必要があります。モジュールの三属性（forward、サブマニフォールド、ノルム）を用いて感度を評価し、配分に反映します。とはいえ、層間の相互作用が強いモデルでは単純に独立設計するだけでは不十分です。カルテジアン積による統合やノルム最大化に基づく配分は有力ですが、数値安定性やハードウェア依存の問題がつきまといます。

実務的には以下が鍵になります。

  • 感度測定の信頼性を高めること
  • 計算コストを抑える近似や反復回数の削減
  • ハードウェア特性（FP16、混合精度など）への配慮

これらがうまく回れば、層ごとの学習率を直感的かつ効果的に設計できます。

実用化のハードルと今後の研究方向

GPU 上での多様体演算を速くすることが実用化の大きな壁です。Polar Express のような効率化アルゴリズムが期待されています。現状は小規模実験での有望性が示されている段階ですから、本番規模での導入にはアルゴリズム的・実装的改善が不可欠です。

今後の研究テーマとしては、次のような項目が挙げられます。

  • モジュール適用範囲の拡張と汎用性向上
  • 数値安定性の理論的・実装的改善
  • 凸最適化や収束解析の活用
  • アーキテクチャと最適化の共同設計
  • 非リーマン幾何のより深い利用
  • GPU／TPU 上での実装効率化

コミュニティでの追試や実装共有が進めば、巨大モデルの設計思想に大きな影響を与えうる分野です。

まとめと実践アドバイス

Stiefel と Muon の組み合わせは、巨大モデル訓練の数値安定性と性能の両立をめざす有望な方向性です。まずは小さなタスクで試し、重みの特異値分布や学習曲線を観察してください。効果が出たら段階的に適用範囲を広げ、計算コストと利得のバランスを見ながら最適化を進めるのが現実的です。

興味があれば、実装の工夫や実験結果の共有で議論を深めていきましょう。新しい道具は、しばしば小さな実験から広がります。